قوانين الإحصاء والاحتمالات

الإحصاء الوصفي ومقاييس التشتت والموقع

المقياس	الرمز	القانون
المتوسط الحسابي (Mean)	x̄	x̄ = (1/n) Σ xᵢ
وسيط العينة (Median)	-	القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات تصاعديًا
تباين المجتمع (Population Variance)	σ²	σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
تباين العينة (Sample Variance)	s²	s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)
الانحراف المعياري للعينة (Sample Std. Dev.)	s	s = √s²
معامل الاختلاف (Coefficient of Variation)	CV	CV = (s / x̄) × 100%
موقع المئيني (Location of Pth Percentile)	Lₚ	Lₚ = (n + 1) × (P / 100)
المدى الربيعي (Interquartile Range)	IQR	IQR = Q₃ - Q₁
first Quartile	Q₁	Q₁ = (n+1)/4
third Quartile	Q₃	Q₃ = 3(n+1)/4

قوانين الاحتمالات الأساسية ومستويات القياس

المفهوم	القانون / التعريف
الاسمية (Nominal)	فئات للتصنيف دون ترتيب (مثال: الجنسية، لون العين)
الترتيبية (Ordinal)	فئات يمكن ترتيبها لكن الفروق غير محددة (مثال: التقديرات)
الفترية (Interval)	فئات مرتبة بفروق ذات معنى دون صفر حقيقي (مثال: درجة الحرارة)
النسبية (Ratio)	فئات لها صفر حقيقي (مثال: الطول، الوزن، الدخل)
الاحتمال الشرطي (Conditional Probability)	P(A\|B) = P(A ∩ B) / P(B)
القاعدة العامة للجمع (General Addition Rule)	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
الأحداث المنفية (Mutually Exclusive)	P(A ∩ B) = 0 , P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
الأحداث المستقلة (Independent Events)	P(A ∩ B) = P(A)P(B) , P(A\|B) = P(A)
قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability)	P(B) = Σ P(B\|Aᵢ) P(Aᵢ)
نظرية بايز (Bayes' Theorem)	P(Aⱼ\|B) = [P(B\|Aⱼ)P(Aⱼ)] / Σ P(B\|Aᵢ)P(Aᵢ)

التوزيعات المتقطعة الإضافية

المفهوم	الرمز	القانون / التعريف
توزيع بواسون (Poisson Distribution)	X ~ Pois(λ)	P(X=x) = (λˣ e^(-λ)) / x! , x=0,1,2,...
متوسط توزيع بواسون	E[X]	E[X] = λ
تباين توزيع بواسون	Var(X)	Var(X) = λ
التوزيع الهندسي (Geometric Distribution)	X ~ Geom(p)	P(X=x) = (1-p)ˣ⁻¹ p , x=1,2,3,...
متوسط التوزيع الهندسي	E[X]	E[X] = 1/p
تباين التوزيع الهندسي	Var(X)	Var(X) = (1-p)/p²
التوزيع فوق الهندسي (Hypergeometric Distribution)	X ~ H(N,K,n)	P(X=x) = [C(K,x) C(N-K, n-x)] / C(N,n)
متوسط التوزيع فوق الهندسي	E[X]	E[X] = n(K/N)
تباين التوزيع فوق الهندسي	Var(X)	Var(X) = n(K/N)(1-K/N)[(N-n)/(N-1)]

التوزيعات المتصلة

المفهوم	الرمز	القانون / التعريف
التوزيع الطبيعي (Normal Distribution)	X ~ N(μ,σ²)	f(x) = (1/√(2πσ²)) e^(-(x-μ)²/(2σ²))
التوزيع الطبيعي المعياري	Z ~ N(0,1)	Z = (X-μ)/σ
التوزيع الأسي (Exponential Distribution)	X ~ Exp(λ)	f(x) = λe^(-λx) , x≥0
متوسط التوزيع الأسي	E[X]	E[X] = 1/λ
تباين التوزيع الأسي	Var(X)	Var(X) = 1/λ²
التوزيع المنتظم (Uniform Distribution)	X ~ U(a,b)	f(x) = 1/(b-a) , a≤x≤b
متوسط التوزيع المنتظم	E[X]	E[X] = (a+b)/2
تباين التوزيع المنتظم	Var(X)	Var(X) = (b-a)²/12
التوزيع الطبيعي - قاعدة 68-95-99.7	-	68% ضمن μ±σ, 95% ضمن μ±2σ, 99.7% ضمن μ±3σ

التكامل في التوزيعات المتصلة

المفهوم	الرمز	القانون / التعريف
دالة التوزيع التراكمي (CDF)	F(x)	F(x) = P(X ≤ x) = ∫_-∞^x f(t) dt
الاحتمال في فترة	P(a≤X≤b)	P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx
التوقع الرياضي (المتوسط)	E[X]	E[X] = ∫_-∞^∞ x f(x) dx
توقع دالة للمتغير	E[g(X)]	E[g(X)] = ∫_-∞^∞ g(x) f(x) dx
التباين	Var(X)	Var(X) = E[(X-μ)²] = ∫_-∞^∞ (x-μ)² f(x) dx
العزم من الرتبة r	E[Xʳ]	E[Xʳ] = ∫_-∞^∞ xʳ f(x) dx
العزم المركزي من الرتبة r	E[(X-μ)ʳ]	E[(X-μ)ʳ] = ∫_-∞^∞ (x-μ)ʳ f(x) dx
شرط دالة الكثافة	-	∫_-∞^∞ f(x) dx = 1
دالة الكثافة الشرطية	f(x\|A)	f(x\|A) = f(x) / P(A) إذا كان x ∈ A

التكاملات للتوزيعات المتصلة الشائعة

التوزيع	التكاملات الأساسية
التوزيع الطبيعي	∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx = √(2π) ∫_-∞^∞ x e^-x²/2 dx = 0 ∫_-∞^∞ x² e^-x²/2 dx = √(2π)
التوزيع الأسي	∫₀^∞ λe^-λx dx = 1 ∫₀^∞ x λe^-λx dx = 1/λ ∫₀^∞ x² λe^-λx dx = 2/λ²
التوزيع المنتظم	∫_a^b (1/(b-a)) dx = 1 ∫_a^b x/(b-a) dx = (a+b)/2 ∫_a^b x²/(b-a) dx = (a²+ab+b²)/3
دالة جاما	Γ(α) = ∫₀^∞ x^α-1 e^-x dx Γ(n) = (n-1)! للأعداد الصحيحة Γ(1/2) = √π
توزيع جاما	∫₀^∞ [βᵅ/Γ(α)] x^α-1 e^-βx dx = 1 E[X] = α/β Var(X) = α/β²

خواص التكامل في الاحتمالات

الخاصية	الصيغة الرياضية
خطية التوقع	E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]
عدم سلبية دالة الكثافة	f(x) ≥ 0 لجميع قيم x
شرط التطبيع	∫_-∞^∞ f(x) dx = 1
الاحتمال عند نقطة	P(X = c) = ∫_c^c f(x) dx = 0
علاقة CDF و PDF	f(x) = d/dx F(x)
قاعدة التباين	Var(aX + b) = a²Var(X)
عدم ارتباط التباين	Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) إذا X,Y مستقلين
متباينة ماركوف	P(X ≥ a) ≤ E[X]/a لـ a > 0
متباينة تشيبيشيف	P(\|X-μ\| ≥ kσ) ≤ 1/k²

المتغيرات العشوائية والتوزيعات المنفصلة

المقياس	الرمز	القانون
التوقع الرياضي (Expected Value)	E[X]	E[X] = Σ x f(x)
تباين المتغير العشوائي (Variance)	Var(X)	Var(X) = E[X²] - (E[X])²
التوزيع ذو الحدين (Binomial Distribution)	-	X ~ Bin(n, p)
دالة كتلة الاحتمال (PMF)	P(X=x)	P(X=x) = C(n, x)pˣ(1-p)ⁿ⁻ˣ
المتوسط (Mean)	μ	μ = n p
التباين (Variance)	σ²	σ² = n p (1 - p)

إثبات القوانين الأساسية

النظرية	الإثبات (المنطق)
الاحتمال المتمم	P(Aᶜ) = 1 - P(A) → لأن A ∪ Aᶜ = S ⇒ P(A) + P(Aᶜ) = 1
احتمال الحدث المستحيل	P(∅) = 0 → لأن ∅ = Sᶜ ⇒ P(∅) = 1 - P(S) = 0
خاصية التزايد الرتيب	A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) → لأن B = A ∪ (B ∩ Aᶜ)
استقلال المتممات	إذا كان A و B مستقلين ⇒ A و Bᶜ مستقلين

ملاحظات الحل السريع للامتحانات

نوع المسألة	الخطوات والملاحظات السريعة
تحديد نوع الأحداث	متنافية: A ∩ B = ∅ → استخدم P(A ∪ B) = P(A) + P(B) مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)P(B) → يمكن التعويض مباشرة غير مستقلة: استخدم الاحتمال الشرطي
مسائل بايز	مفتاح الحل: عندما يُعطى P(B\|A) وتريد P(A\|B) الخطوات: 1. حدد الأقسام A₁, A₂, ... Aₙ 2. استخدم قانون الاحتمال الكلي لإيجاد P(B) 3. طبق بايز مباشرة
التحقق من PMF	قبل الحل تأكد من: 1. Σ f(x) = 1 (مجموع الاحتمالات = 1) 2. f(x) ≥ 0 لكل x 3. إذا لم تتحقق، أعد تعريف الثوابت
التوقع والتباين مع الثوابت	التوقع خطي: E[aX + b] = aE[X] + b التباين يقاوم الإزاحة: Var(aX + b) = a²Var(X) ملاحظة: تذكر تربيع المعامل مع a في التباين
التوزيع الثنائي (Binomial)	التعريف: X ∼ B(n, p) المتوسط: μ = np التباين: σ² = np(1-p) الشرط: تجارب مستقلة وp ثابت
الإحصاء الوصفي	الوسيط والربيعات: رتب البيانات أولاً! CV: لمقارنة التشتت بين مجموعات مختلفة IQR: أفضل من المدى مع القيم المتطرفة
قوانين دي مورغان	للتبسيط: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ استخدمها لتبسيط التعابير المعقدة
الاستقلال بين المتممات	إذا كانت A و B مستقلتين، فإن: • A و Bᶜ مستقلتان • Aᶜ و B مستقلتان • Aᶜ و Bᶜ مستقلتان
الفرق بين التباين	العينة: s² = Σ(x - x̄)² / (n-1) ← قاسم n-1 المجتمع: σ² = Σ(x - μ)² / N ← قاسم N لا تخلط بينهما!
التحقق النهائي	• تأكد أن 0 ≤ P(A) ≤ 1 • تأكد أن مجموع الاحتمالات = 1 • الوسيط يجب أن يكون ضمن نطاق البيانات • التباين لا يمكن أن يكون سالباً

التوزيعات المتقطعة الأساسية (إضافة للمحاضرة 5-7)

التوزيع	الرمز	دالة الكتلة الاحتمالية	المتوسط والتباين
توزيع برنولي (Bernoulli)	X ~ Bern(p)	P(X=1)=p, P(X=0)=1-p	E[X]=p, Var(X)=p(1-p)
توزيع ذو الحدين (Binomial)	X ~ Bin(n,p)	P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ	E[X]=np, Var(X)=np(1-p)

قواعد الجمع والضرب في الاحتمالات (إضافة للمحاضرة 4)

القاعدة	الصيغة	الشرط
قاعدة الضرب العامة	P(A ∩ B) = P(A\|B)P(B) = P(B\|A)P(A)	لا يوجد شرط
قاعدة الضرب للأحداث المستقلة	P(A ∩ B) = P(A)P(B)	إذا كانت A و B مستقلين
قاعدة الجمع للأحداث المنفية	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	إذا كانت A و B متنافيين

بديهيات كولموغوروف (إضافة للمحاضرة 3)

البديهية	الصيغة والشرح
البديهية الأولى	احتمال أي حدث A هو عدد غير سالب: P(A) ≥ 0
البديهية الثانية	احتمال الفضاء العيني S يساوي 1: P(S) = 1
البديهية الثالثة	إذا كانت A₁, A₂, ... أحداثاً متنافية، فإن: P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)

معامل الاختلاف (إضافة للمحاضرة 6)

المفهوم	التعريف والتطبيق
معامل الاختلاف (CV)	\[ CV = \frac{\sigma}{\|\mu\|} \times 100\% \quad \]
التفسير	مقياس نسبي للتشتت، يستخدم لمقارنة التباين بين مجموعات بمتوسطات مختلفة
قاعدة عامة	CV ≤ 33% → تشتت منخفض، CV > 33% → تشتت مرتفع

التجارب البرنولية (إضافة للمحاضرة 5)

الشرط	التوضيح
عدد محدد من المحاولات	عدد التجارب n محدد مسبقاً
ناتجان فقط	نجاح (احتماله p) أو فشل (احتماله q=1-p)
استقلالية التجارب	نتيجة تجربة لا تؤثر على الأخرى
ثبات الاحتمال	احتمال النجاح p ثابت في كل التجارب

خصائص دالة التوزيع التراكمي (CDF) (إضافة للمحاضرة 8)

الخاصية	الوصف والصيغة
دالة غير متناقصة	إذا كانت a ≤ b، فإن F(a) ≤ F(b)
حدود الدالة	\[ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \]
متصل من اليمين	F(x) متصلة من اليمين لكل x
الاحتمال في فترة	P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
العلاقة مع PDF	\[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) \]

العزوم للمتغيرات العشوائية (إضافة للمحاضرة 8)

نوع العزم	الصيغة	التطبيق
العزم العادي من الرتبة r	E[X^r]	يصف شكل التوزيع
العزم المركزي من الرتبة r	E[(X-\mu)^r]	الرتبة 2: التباين، الرتبة 3: الميل
العزم المعياري من الرتبة r	\[ E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^r\right] \]	مقاييس شكلية معيارية

جدول ملخص التوزيعات الاحتمالية

التوزيع	دالة الكتلة/الكثافة (PMF/PDF)	دالة التوزيع التراكمي (CDF)	المتوسط	التباين
ذو الحدين (Binomial)	\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)	\(\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
هندسي (Geometric)	\(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)	\(1 - (1-p)^k\)	\(\frac{1}{p}\)	\(\frac{1-p}{p^2}\)
بواسون (Poisson)	\(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)	\(\sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
منتظم (Uniform)	\(f(x) = \frac{1}{b-a}, \ a \le x \le b\)	\(\frac{x-a}{b-a}\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)
أسي (Exponential)	\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \ x \ge 0\)	\(1 - e^{-\lambda x}\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)
طبيعي (Normal)	\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)	\(\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)
طبيعي معياري (Standard Normal)	\(f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}\)	\(\Phi(z)\)	0	1
برنولي (Bernoulli)	\(P(X=1)=p, P(X=0)=1-p\)	\(F(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1-p & 0\le x<1 \\ 1 & x\ge 1 \end{cases}\)	\(p\)	\(p(1-p)\)
فوق هندسي (Hypergeometric)	\(P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\)	\(\sum_{i=0}^{k} \frac{\binom{K}{i}\binom{N-K}{n-i}}{\binom{N}{n}}\)	\(n\frac{K}{N}\)	\(n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)